تابع کانتور

نمودار عملکرد کانتور در بازه واحد

در ریاضیات ، تابع کانتور نمونه ای از یک تابع پیوسته است اما نه پیوسته مطلق. این تابع یک مثال نقض بسیار مشهور در ریاضیات تحلیلی است ، زیرا شهود ساده لوحانه درباره استمرار ، مشتق و اندازه گیری را به چالش می کشد. اگرچه در همه جا پیوسته است و مشتق آن تقریباً در همه جا صفر است، ولی همچنان که آرگومان ورودی آن از 0 به 1 می رسد مقدار آن نیز از 0 به 1 تغییر می کند. بنابراین ، از یک نظر ، بسیار مشابه یک تابع ثابت است ، و از نظری دیگر ، با یک شیب ثابت افزایش مییابد.

همچنین با عناوین تابع کانتور سه گانه ، تابع Lebesgue ، تابع مفرد Lebesgue ، تابع Cantor – Vitali ، پلکان شیطان ، تابع پلکان کانتور ، و عملکرد Cantor-Lebesgue از آن نام برده می شود .  ([[#CITEREF|]]) تابع کانتور را معرفی کرد و خاطرنشان ساخت که این یک مثال نقض برای بسط قضیه اساسی حساب است که توسط هارناک ارائه شده . تابع کانتور توسط Scheeffer (1884) ، Lebesgue (1904) و Vitali (1905) مورد بحث Scheeffer (1884) قرار گرفت و به شهرت رسید.

تعریف

اگر به شکل توجه کنید خواهید دید که برای اینکه یک تعریف رسمی از تابع کانتور با شرط c  : [0،1] → [0،1] داشته باشیم ، با فرض اینکه x در [0،1] باشد، با پیروی از مراحل زیر c ( x ) را بدست می آوریم:

1. x را در پایه 3 بیان کنید.
2. اگر x حاوی عدد 1 است ، هر رقم را دقیقاً پس از اولین 1 با 0 جایگزین کنید.
3. تمامی اعداد 2 باقی مانده در x را با 1 جابجا کنید.
4. نتیجه را به عنوان یک عدد باینری تفسیر کنید. نتیجه c ( x ) است.

برای مثال:

• 1/4 برابر با 0.02020202 ... در پایه 3 است. هیچ 1s وجود ندارد بنابراین مرحله بعدی هنوز 0.02020202 است. . . این به صورت 0.01010101 بازنویسی می شود. . . هنگامی که در پایه 2 خوانده می شود ، این مربوط به 1/3 است ، بنابراین c (1/4) = 1/3.
• 1/5 برابر 0.01210121 ... در پایه 3 است. ارقام پس از اولین 1 با 0s جایگزین می شوند تا 0.01000000 تولید شود. . . این بازنویسی نشده است زیرا هیچ 2s وجود ندارد. وقتی در پایه 2 خوانده می شود ، این مربوط به 1/4 است ، بنابراین c (1/5) = 1/4.
• 200/243 در پایه 3 0.21102 (یا 0.211012222 ...) است. ارقام پس از اولین 1 با 0s جایگزین می شوند تا 0.21 تولید شود. این با 0.11 بازنویسی می شود. وقتی در پایه 2 خوانده می شود ، این مربوط به 3/4 است ، بنابراین c (200/243) = 3/4.

معادل ، اگر ${\mathcal {C}}$ کانتور روی [0،1] تنظیم شده است ، سپس عملکرد Cantor c : [0،1] → [0،1] را می توان به صورت زیر تعریف کرد

$c(x)={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}},&x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}\in {\mathcal {C}}\ \mathrm {for} \ a_{n}\in \{0,1\};\\\sup _{y\leq x,\,y\in {\mathcal {C}}}c(y),&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\\\end{cases}}$

این فرمول به خوبی تعریف شده، از هر عضو از مجموعه کانتور است منحصر به فرد پایه 3 نمایندگی که تنها شامل ارقام 0 یا 2. (برای برخی از اعضای ${\mathcal {C}}$ انبساط سه قلو با دنباله 2 در حال تکرار است و یک گسترش غیر تکرار جایگزین که در 1 به پایان می رسد وجود دارد. به عنوان مثال ، 1/3 = 0.1 ₃ = 0.02222 ... ₃ عضو مجموعه کانتور است). از آنجا که c (0) = 0 و c (1) = 1 و c روی یکنواخت است ${\mathcal {C}}$ واضح است که 0 ≤ c ( x ) ≤ 1 نیز برای همه وجود دارد $x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}$ .

خصوصیات

عملکرد کانتور شهود ساده لوحانه درباره استمرار و اندازه گیری را به چالش می کشد. اگرچه در همه جا مداوم است و تقریباً در همه جا مشتق صفر است ، ${\textstyle c(x)}$ از 0 به 1 می رود ${\textstyle x}$ از 0 به 1 می رود و هر مقدار را بین آن می گیرد. عملکرد Cantor متداول ترین نمونه از یک عملکرد واقعی است که به طور یکنواخت مداوم باشد (دقیقاً ، این Hölder مستمر از نمایشگر α است   =   ورود به سیستم   2 / ورود   3) اما کاملاً مداوم نیست . این در فواصل فرم ثابت است (0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 022222 ... ، 0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 200000 ...) ، و هر نقطه ای نیست در مجموعه کانتور در یکی از این فواصل قرار دارد ، بنابراین مشتق آن 0 خارج از مجموعه کانتور است. از طرف دیگر ، هیچ زیرمجموعه ای غیر قابل شمارش از مجموعه Cantor که حاوی نقاط انتهایی فاصله ای که در بالا توضیح داده شده است ، مشتق نیست.

منابع

This article "تابع کانتور" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:تابع کانتور. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

📰 Article(s) of the same category(ies)

• کاشی‌سازی برخالی

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• تابع کانتور in English