اثبات گنگ بودن عدد e

اثبات گنگ بودن عدد e ابتدا توسط اویلر انجام شد. به این شکل که اویلر نشان داد عد e را میتوان به شکل کسر مسلسل نامتناهی $\left[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...\right]$ نشان داد و چون هرکسرمسلسل نامتناهی نشانگر یک عدد گنگ است پس e عددی گنگ است.

اما اثبات این قضیه درآنالیز به شکل ساده ی زیر بیان میشود.میدانیم عدد e با سری مقابل نشان داد $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\cdots$

حال اگر این عدد گویا باشد باید برابر حاصل تقسیم دوعدد صحصیح m و n باشد و درنتیجه:

$1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\cdots +{1 \over m!}+{1 \over (m+1)!}+\cdots ={\frac {n}{m}}$ #

درمعادله ی بالا $m\neq 1$ جون اگر 1 باشد e عددی صحیح میشود اما از آنجا که e از 2بزرگتر میشود و طبق نامساوی $e=1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\cdots <1+1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+\cdots =3$ از3 کمتر میشود پس $m\geq 2$

حال اگر دوطرف معادله ی # را در $m!$ ضرب کنیم نتیجه ی زیر حاصل میشود.

$(m!+m!+{m! \over 2!}+{m! \over 3!}+\cdots +{m! \over m!})+({1 \over m+1}+{1 \over (m+1)(m+2)}+\cdots )=n\times (m-1)!$

و ازآنجا که $m!$ برهمه ی اعداد $k!$ برای kهای کوچکتراز m بخشپذیر است سمت چپ تساوی در پرانتز اول مجموع اعدادی صحیح است که صحیح میشود و چون سمت راست هم عددی صحیح است باید مقدار ${1 \over m+1}+{1 \over (m+1)(m+2)}+\cdots$ هم عددی صحیح باشد, اما چون $m\geq 2$

${1 \over m+1}+{1 \over (m+1)(m+2)}+{1 \over (m+1)(m+2)(m+3)}+\cdots <{1 \over m}+{1 \over m^{2}}+{1 \over m^{3}}+\cdots \leq 1$

و درنتیجه این مقدار صحیح نیست و این تناقض نشانگر گویا نبودن و درنتیجه گنگ بودن e است.

منابع

elemenatry number theory

David M. Burton

Wm. C. Brown Publishers 1989

This article "اثبات گنگ بودن عدد e" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:اثبات گنگ بودن عدد e. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• اثبات گنگ بودن عدد e in English