You can edit almost every page by Creating an account. Otherwise, see the FAQ.

روش FEE

از EverybodyWiki Bios & Wiki
پرش به:ناوبری، جستجو

در ریاضی، روش FEE روشی سریع برای حمع بندی سری‌های است که به یک فرم خاص هستند. در سال 1990 این روش توسط Ekaterina A. Karatsuba [۱] [۲] و FEE نامیده شد - ارزیابی فوری E-function - زیرا محاسبات سریع Siegel را انجام می دهد. توابع ممکن است، مخصوصا از .

سیگل گروهی از توابع را که «مانند تابع های نمایی» هستند، «تابع E» نامید. [۳] از جمله این توابع می توان به توابع خاص مثل تابع فوق هندسی ، استوانه ، توابع کروی و ... اشاره کرد.

قضیه مقابل را با استفاده از FEE می توان اثبات نمود:

قضیه : فرض میکنیم که اگر یک تابع استعلایی مقدماتی باشد، یعنی تابع نمایی باشد یا یک تابع مثلثاتی ، یا یک تابع جبری ابتدایی ، یا برهم نهی آنها، یا معکوس آنها، یا برهم نهی معکوس ها.و بعد داریم :

در فرمول فوق: پیچیدگی محاسبه (bit) تابع است باn رقم دقت ، پیچیدگی ضرب دو است اعداد صحیح n رقمی

الگوریتم‌های که اساس آنها مبتنی بر روش FEE هستند روشی برای محاسبه فوری هر تابع ابتدایی ماورایی برای هر مقدار آرگومان، ثوابت کلاسیک e . اویلرر کاتالان و آپری ، [۴] توابع ماورایی بالاتر مثل تابع گامای اویلر و مشتقات آن، توابع ابر هندسی ،توابع [۵] کروی ، توابع استوانه ای و برخی از تابع های دیگر برای مقادیر جبری آرگومان و پارامترها، تابع زتای ریمان برای مقدار های صحیح آرگومان [۶] [۷] و تابع زتای هورویتز برای آرگومان عدد صحیح و مقدار های جبری پارامتر، [۸] و به شکل مشابهی انتگرال های ویژه ای نظیر انتگرال احتمال ، انتگرال فرنل ، تابع نمای انتگرال، و برخی از انتگرال های دیگر [۹] برای مقدار های جبری استدلال با حد بالای پیچیدگی که به حد بهینه نزدیک است شامل میشوند، پس داریم :

الان،  تنها هزینه ایجاد میکند به محاسبه فوری مقدار های توابع از گروهی از توابع برتر بالاتر، [۱۰] برخی انتگرال خاص از فیزیک و ریاضی از جمله ثابت کلاسیک به عنوان ثابت اویلرو ثابت کاتالان است [۱۱] و ثابت Apery کوتاه است. امکان موازی سازی الگوریتم ها بر اساس FEE است مزیت اضافی روش FEE .

FEE-محاسبه ثابت های کلاسیک[ویرایش]

می توان از فرمول اویلر به صورت زیر برای سنجش فوری و سریع ثابت استفاده نمود و مطابق بخش پایین میتوان از FEE برای محاسبه محموع جملات تیلور استفاده کرد.

و برای

می توان از سایر تقریب ها برای حساب کردن توسط FEE نیز استفاده کرد [۱۲] با این حال درتمام حالات برای پیچیدگی داریم :

برای حساب کردن گامای ثابت اویلر با n رقم دقت، باید با دو سری FEE جمع شوند. پس داریم :

برای بررسی فوری و سریع ثابت برای سایر تقریب ها امکان اعمال FEE وجود دارد. [۱۳]

FEE-محاسبه سری های توان خاص[ویرایش]

میتوان دو سری زیر را با استفاده از FEE سریع حساب کرد پس داریم :

فرض میکنیم که اعدادی صحیح هستند

و ثابت هستند و عددی جبری است و برای پیچیدگی ارزیابی آن داریم :

جزئیات FEE در مثال محاسبه سریع ثابت کلاسیک e[ویرایش]

برای ارزیابی ثابت گرفتن ، شرایط سری تیلور برای

ما در اینجا m را طوری انتخاب می کنیم که نیاز آن به باقی مانده به طوریکه نابرابری مقابل را داشته باشیم برطرف می شود. برای مثال زمانی که ، ما را به طوری در نظر میگیریم که عدد طبیعی توسط نامساوی ها مشخص می گردد و داریم:

جمع را محاسبه می کنیم

و در k مرحله فرایند زیر داریم :

مرحله 1. ترکیب در مجموع ها را به صورت دوتایی از داخل پرانتز عامل مشترک "بدیهی" را انجام می دهیم و حساب میکنیم پس داریم :

ما مقداری های صحیح عبارت های داخل پرانتز را حساب میکنیم، یعنی داریم :

پس، در مرحله اول مجموع در است

در اولین قدم اعداد صحیح فرم

حساب می گردند. بعد از آن به روشی مانند آن عمل می نماییم: در هر مرحله مجموع جمع را به صورت جفت و متوالی ترکیب می کنیم ، فاکتور مشترک «بدیهی» را از براکت ها خارج می نماییم و فقط مقدار های صحیح عبارات داخل پرانتز را محاسبه می کنیم. فرض کنید که اولی مراحل این فرآیند تکمیل شده است.

و غیره.

قسمت آخر. عددی صحیح را حساب می نماییم ما با استفاده از الگوریتم فوری که پیش تر بررسی شد، حساب می نماییم و تقسیمی از عدد صحیح انجام دهید توسط عدد صحیح با دقت تا ارقام نتیجه به دست آمده حاصل جمع است پیچیدگی همه محاسبات تا n رقم برابر است یا ثابت .

همچنین ببینید[ویرایش]

منابع[ویرایش]

 

مرجع :[ویرایش]


This article "روش FEE" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:روش FEE. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

  1. E. A. Karatsuba, Fast evaluations of transcendental functions. Probl. Peredachi Informat., Vol. 27, No. 4, (1991)
  2. D. W. Lozier and F. W. J. Olver, Numerical Evaluation of Special Functions. Mathematics of Computation 1943–1993: A Half-Century of Computational Mathematics, W. Gautschi, eds., Proc. Sympos. Applied Mathematics, AMS, Vol. 48 (1994).
  3. C. L. Siegel, Transcendental numbers. Princeton University Press, Princeton (1949).
  4. Karatsuba E. A., Fast evaluation of , Probl. Peredachi Informat., Vol. 29, No. 1 (1993)
  5. Ekatharine A. Karatsuba, Fast evaluation of hypergeometric function by FEE. Computational Methods and Function Theory (CMFT'97), N. Papamichael, St. Ruscheweyh and E. B. Saff, eds., World Sc. Pub. (1999)
  6. E. A. Karatsuba, Fast Evaluation of Riemann zeta-function for integer values of argument . Probl. Peredachi Informat., Vol. 31, No. 4 (1995).
  7. J. M. Borwein, D. M. Bradley and R. E. Crandall, Computational strategies for the Riemann zeta function. J. of Comput. Appl. Math., Vol. 121, No. 1–2 (2000).
  8. E. A. Karatsuba, Fast evaluation of Hurwitz zeta function and Dirichlet -series, Problem. Peredachi Informat., Vol. 34, No. 4, pp. 342–353, (1998).
  9. E. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Kramer, J. W. von Gudenberg, eds.(2001).
  10. E. Bach, The complexity of number-theoretic constants. Info. Proc. Letters, No. 62 (1997).
  11. E. A. Karatsuba, Fast computation of $\zeta(3)$ and of some special integrals ,using the polylogarithms, the Ramanujan formula and its generalization. J. of Numerical Mathematics BIT, Vol. 41, No. 4 (2001).
  12. D. H. Bailey, P. B. Borwein and S. Plouffe, On the rapid computation of various polylogarithmic constants. Math. Comp., Vol. 66 (1997).
  13. R. P. Brent and E. M. McMillan, Some new algorithms for high-precision computation of Euler's constant. Math. Comp., Vol. 34 (1980).


Read or create/edit this page in another language[ویرایش]