فرمول گزاره‌ای
درمنطق گزاره ایی، فرمول گزاره ایی نوعی از فرمول است بطوری که به خوبی شکل گرفته و ارزش درستی دارد. اگر مقدار همهٔ متغیرها در یک فرمول گزاره ایی داده شود، یک مقدار درستی را مشخص می‌کند. فرمول گزاره ایی را می‌توان عبارت گزاره ایی، جمله، یا فرمول جمله ایی نامید.
فرمول گزاره ایی از گزاره‌های ساده مانند (۵>۳) یا متغیرهای گزاره ایی مانند p و q، با استفاده از رایطه‌ها یا عملگردهای منطقی مثل NOT, AND, OR, or IMPLIES ساخته می‌شود. برای مثال:
(p AND NOT q) IMPLIES (p OR q).
در ریاضیات، فرمول گزاره ایی اغلب برای خلاصه تر شدن گزاره نامیده می‌شود اما به‌طور دقیق، فرمول گزاره ایی، گزاره نیست بلکه عبارت صوری است که بصورت یک گزاره یک شی صوری مورد بحث دلالت می‌کند، مانند جمله ایی شبیه این؛ زیرا “x+y” یک مقدار نیست، بلکه یک مقدرا را نشان می‌دهد. در برخی زمینه‌ها حفظ تفاوت‌ها می‌تواند مهم باشد.
گزاره‌ها[ویرایش]
از نظر حساب گزاره ای، گزاره‌ها (قول‌ها، جمله‌ها، مصدقات) ساده یا مرکب در نظر گرفته می‌شوند. گزاره‌های مرکب به وسیله پیوندهای جمله ای به هم ربط داده می‌شوند. که برخی از رایج‌ترین آنها AND" , OR , "IF سپس "NEITHER , NOR" برابر است با …". نقطه ویرگول ";" و رابط "BUT" به عنوان جمله ی"AND" در نظر گرفته می‌شوند. دنباله ایی از جملات گسسته در نظر گرفته می‌شود که توسط "AND" به هم مرتبط می‌شوند، و تجزیه و تحلیل رسمی یک "قاعده پرانتز" بازگشتی را با توجه به دنباله‌هایی از گزاره‌های ساده اعمال می‌کند
به عنوان مثال: ادعا: "این گاو آبی هست. آن اسب نارنجی هست اما این اسب در اینجا بنفش است." در واقع یک گزاره مرکب است که با "AND" مرتبط می‌شود: (این گاو آبی است و این اسب نارنجی است) (این اسب اینجا بنفش است).
گزاره‌های ساده ماهیتی هشداری دارند، به این معنا که در مورد شرایط یا ماهیت یک شی خاص احساسی اظهار نظر می‌کنند. این گاو آبی است، یک کایوت وجود دارد! (آن کایوت آنجاست، پشت صخره‌ها). بنابراین، اظهارات ساده «ابتدایی» باید در مورد اشیاء خاص یا حالت‌های ذهنی خاصی باشد. هر کدام باید حداقل یک فاعل (یک مفعول فوری فکر یا مشاهده)، یک فعل (در صوت فاعل و ترجیح زمان حال) و شاید یک صفت یا قید داشته باشد. «سگ» احتمالاً به معنای «من یک سگ می‌بینم» است، اما باید به عنوان بیش از حد مبهم رد شود.
مثال: «آن سگ بنفش در حال دویدن است»، «این گاو آبی است»، «سوئیچ M31 بسته‌است»، «این کلاه خاموش است»، «فردا جمعه است».
برای اهداف حساب گزاره‌ای، یک گزاره مرکب معمولاً می‌تواند به مجموعه‌ای از جملات ساده بازنویسی کرد، گرچه نتیجه احتمالاً بی‌حس به نظر می‌رسد.
رابطه بین فرمول‌های گزاره ای و محمول[ویرایش]
حساب محمول یک گام فراتر از حساب گزاره ای به «تحلیل ساختار درونی قضایا» می‌رود. یک جمله ساده را به دو قسمت تقسیم می‌کند (i) موضوع آن (مفعول (مفرد یا جمع) گفتمان). و (ii) یک محمول (فعل یا احتمالاً فعل-بند که کیفیت یا ویژگی شیء(ها) را بیان می‌کند). سپس محاسبات محمول شکل «موضوع|مقدم» (که در آن | نماد الحاق (رشته کردن) نمادها است) را به شکلی با ساختار مضمون خالی زیر تعمیم می‌دهد و گزاره به نوبه خود به همه چیزها تعمیم می‌یابد.
مثال: «این خوک آبی بال دارد» در حساب گزاره ای به دو جمله تبدیل می‌شود: «این خوک بال دارد» و «این خوک آبی است» که ساختار درونی آن در نظر گرفته نشده‌است. در مقابل، در حساب محمول، جمله اول به عنوان فاعل به «این خوک» و به عنوان محمول «بال دارد» می‌شکند؛ بنابراین ادعا می‌کند که شی «این خوک» عضوی از کلاس (مجموعه، مجموعه) «چیزهای بالدار» است. جمله دوم بیان می‌کند که شی «این خوک» دارای ویژگی «آبی» است و بنابراین عضوی از کلاس «چیزهای آبی» است. ممکن است یکی دو جمله مرتبط با AND را به صورت زیر بنویسد:
p|W و p|B
تعمیم "این خوک" به یک عضو (بالقوه) از دو طبقه "چیزهای بالدار" و "چیزهای آبی" به این معنی است که با هر دو این طبقه رابطه دارد. به عبارت دیگه، با توجه به حوزه‌ای از گفتمان «چیزهای بالدار»، p یا عضوی از این حوزه است یا نه؛ بنابراین یک رابطه W (بالدار بودن) بین p (pig) و {T, F } وجود دارد، W(p) به {T, F } ارزیابی می‌شود که در آن {T, F } مجموعه مقادیر بولی "true" و "است. نادرست». به همین ترتیب برای B (آبی) و p (خوک) و {T, F }: B(p) به {T, F} ارزیابی می‌شود؛ بنابراین اکنون می‌توان ادعاهای مرتبط "B(p) و W(p)" را برای ارزش کلی آن تجزیه و تحلیل کرد، به عنوان مثال:
(B(p) AND W(p)) به {T, F } ارزیابی می‌شود
به‌ویژه، جملات ساده‌ای که مفاهیم «همه»، «بعضی»، «چند»، «یکی از» و غیره را به کار می‌گیرند که کمی ساز منطقی نامیده می‌شوند، توسط حساب محمول بررسی می‌شوند. همراه با نماد تابع جدید "F(x)" دو نماد جدید معرفی می‌شوند: ∀ (برای همه)، و ∃ (وجود دارد …، حداقل یکی از … وجود دارد، و…). حساب محمول، نه حساب گزاره ای، می‌تواند اعتبار صوری عبارت زیر را ایجاد کند:
«همه خوک‌های آبی بال دارند اما برخی از خوک‌ها بال ندارند، بنابراین برخی از خوک‌ها آبی نیستند.»
هویت[ویرایش]
«تارسکی» ادعا می‌کند که مفهوم هویت (همان‌طور که از معادله منطقی متمایز می‌شود) خارج از حساب گزاره ای می‌باشد. با این حال، او نشان میئدهد که اگر قرار است منطقی برای ریاضیات و علوم استفاده شود، باید حاوی «نظریه» هویت باشد. برخی از نویسندگان برای تأکید بر این موضوع به «منطق محمول با هویت» اشاره می‌کنند.
جبر گزاره ایی و حساب گزاره ای[ویرایش]
جبر، با تعریف ضعیف، روشی است که به وسیله آن مجموعه ایی از نمادها با نام متغیر، همراه با برخی نمادهای دیگری مانند پرانتز (,) و زیر مجموعه ای از نمادها مانند *، +، ~، &، ∨، =، ≡. ، ∧، ￢ در یک سیستم از قوانین دستکاری می‌شوند. گفته شده که این نمادها و رشته‌های خوش فرم، نشان دهنده اشیاء هستند، اما در یک سیستم جبری خاص این اشیاء معنی ندارند؛ بنابراین کار در جبر به تمرینی برای اطاعت از قوانین خاص جبر (شکل‌گیری نمادها) تبدیل می‌شود همچنین در معناشناسی نمادها، معانی را باید خارج از جبر یافت.
برای اینکه دنباله ای از نمادها در جبر به خوبی شکل بگیرد و برای اینکه در خارج از جبر مفید باشد، به نمادها معانی و در نهایت به متغیرها مقادیر اختصاص داده می‌شود. سپس با یک سری قوانین فرمول ارزیابی خواهد شد.
هنگامی که مقادیر فقط به دو مورد محدود می‌شوند و به مفهوم جملات ساده (برای مثال جملات گفتاری یا نوشتاری) با پیوندهای گزاره ای اعمال می‌شوند، کل این سیستم جبری از نمادها و قوانین و روش‌های ارزیابی که معمولاً حساب گزاره ای یا حساب جمله ای می‌باشد، نامیده می‌شود.
درصورتی که برخی از قواعد آشنای جبر حسابی، همچنان در جبر گزاره‌ها وجود دارند
(مثلاً قوانین جابجایی و تداعی برای AND و OR)، برخی دیگر اینطور نیستند (مثلاً قوانین توزیع پذیری برای AND, OR و NOT).
مفید بودن فرمول‌های گزاره ای[ویرایش]
تجزیه و تحلیل: در استدلال قیاسی، فیلسوف‌ها، سخنوران و ریاضیدان‌ها، استدلال‌ها را به فرمول‌ها کاهش می‌دهند و سپس آنها را (معمولاً با جداول درستی) برای صحت مطالعه می‌کنند. به عنوان مثال: آیا آرگومان زیر صحیح است؟
با توجه به اینکه هوشیاری برای هوش مصنوعی کافی بوده و فقط موجودات آگاه می‌توانند آزمون «تورینگ» را پشت سر بگذارند، قبل از اینکه بتوانیم نتیجه بگیریم که یک ربات، یک هوش مصنوعی هست، آن ربات باید آزمون تورینگ را بگذراند.
مهندسان مدارهای منطقی را که طراحی کردند و با استفاده از تکنیک‌های سنتز، تجزیه و تحلیل می‌کنند. و سپس روش‌های مختلف کاهش و کمینه سازی را برای ساده کردن طرح‌های خودشان اعمال می‌کنند.
ترکیب: مهندسان به صورت خاص فرمول‌های گزاره‌ای (که در نهایت به مدارهای نماد ختم می‌شود) را از جداول درستی ترکیب می‌کنند.
برای مثال: می‌توان با جمع کردن متغیرهای "b" و "a" و "carry_in" "ci" و نتایج "carry_out" "co" و "sum" Σ، جدول درستی را برای نحوه عمل جمع دودویی بنویسید.
مثال: در ردیف ۵، ((b+a) + ci) = ((۱+۰) + ۱) = عدد "۲". به صورت یک عدد باینری نوشته شده.
| row | b | a | ci | (b+a)+ci | co | Σ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | |
| ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | |
| ۲ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | |
| ۳ | ۰ | ۱ | ۱ | ۲ | ۱ | ۰ | |
| ۴ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | |
| ۵ | ۱ | ۰ | ۱ | ۲ | ۱ | ۰ | |
| ۶ | ۱ | ۱ | ۰ | ۲ | ۱ | ۰ | |
| ۷ | ۱ | ۱ | ۱ | ۳ | ۱ | ۱ |
متغیرهای گزاره ایی[ویرایش]
ساده‌ترین نوع فرمول گزاره ای متغیر گزاره ای می‌باشد. بطوری که گزاره‌هایی که ساده (اتمی) هستند، عبارات نمادین اغلب با متغیرهایی به نام p, q، یا P, Q، و غیره نشان داده می‌شوند. مانند «شنبه است» = p یا «من فقط دوشنبه به سینما می‌روم» = q.
تخصیص ارزش حقیقت، ارزیابی فرمول[ویرایش]
ارزیابی فرمول گزاره ای با تخصیص یک مقدار درستی به هر متغیر آغاز می‌شود. از آنجایی که هر متغیر یک جمله ساده را نشان می‌دهد، مقادیر درستی در مورد «درستی» یا «نادرستی» این جملات ساده اعمال خواهد شد.
ارزش‌های حقیقت در ابلاغ، فلسفه و ریاضیات
مقادیر درستی فقط دوتا هستند: { "T" و "F" }. یک تجربه گرا همه گزاره‌ها را در دو دسته کلی قرار می‌دهد: تحلیلی – درست صرف نظر از هر چیزی (مثلاً توتولوژی)، و ترکیبی – که از تجربه ناشی می‌شود.
در نتیجه درصدد تأیید اشخاص ثالث (نظریه تأیید معنا) است. تجربی‌ها معتقدند که، به‌طور کلی، برای رسیدن به ارزش درستی یک گزاره ترکیبی، ابتدا باید معناها (الگوهای تطبیق الگویی) بر کلمات اعمال شود و سپس این الگوهای معنا، باید با هر چیزی که وجود دارد تطابق داده شود؛ مثلاً "آن گاو آبی است!" آیا این گفته یک حقیقت است؟ راستش گفتم و شاید من یک گاو آبی می‌بینم - مگر اینکه دروغ بگویم، گفته من یک حقیقت نسبت به هدف من است. اما آیا گاو آبی واقعاً وجود دارد؟ وقتی از همان پنجره به بیرون نگاه می‌کنید چه می‌بینید؟ برای ادامه راستی‌آزمایی، به مفهوم قبلی (الگوی) هم از «گاو» و هم «آبی» و توانایی تطبیق الگوها با موضوع حس (اگر واقعاً وجود داشته باشد) نیاز دارید.
ارزش‌های درستی در مهندسی
مهندسان سعی می‌کنند از مفاهیم درستی و دروغ فیلسوفان شیطان صفت دوری کنند، اما در تحلیل نهایی مهندسان باید به ابزار اندازه‌گیری خودشان اعتماد کنند. مهندسان در جست وجوی خود برای استحکام، ترجیح می‌دهند اشیاء شناخته شده را از یک کتابخانه کوچک بیرون بکشند.
اشیایی که رفتارهای کاملاً مشخص و قابل پیش‌بینی حتی در ترکیب‌های بزرگ را دارند (از این رو نام آنها برای حساب گزاره‌ای: "منطق ترکیبی"). کمترین رفتار یک شی گوشه‌گیر است (به عنوان مثال { OFF, ON }, { open, shut }, { UP, DOWN } و غیره) و اینها مطابق با {۰, ۱} قرار می‌گیرند. چنین عناصری دیجیتال نامیده می‌شوند. آنهایی که دارای طیف مداوم رفتار هستند آنالوگ نامیده می‌شوند. هر زمان که باید در یک سیستم آنالوگ تصمیم‌گیری شود، اغلب یک مهندس یک رفتار آنالوگ (درب ۴۵٫۳۲۱۴۶٪ بالا است) را با استفاده از یک مقایسه کننده به دیجیتال تبدیل می‌کند (به عنوان مثال DOWN=۰).
بنابراین یک انتساب به معنای متغیرها و دو نماد ارزش {۰، ۱} از فرمول "خارج" حاصل می‌شود که رفتار شی مرکب (معمولاً) را نشان خواهد داد. به عنوان مثال یک درب گاراژ با دو "کلید سوئیچ"، یکی برای UP با برچسب SW_U و دیگری برای DOWN با برچسب SW_D، و هر چیز دیگری در مدار درب است. بازرسی مدار (اعم از نمودار یا خود اشیاء واقعی - درب، کلیدها، سیم‌ها، برد مدار و غیره) ممکن است نشان دهد که در صفحه مدار "گره ۲۲" زمانی که کنتاکت‌های کلید "SW_D" به +۰ ولت می‌رود. " " از نظر مکانیکی در تماس هستند ("بسته") و درب در موقعیت "پایین" است (۹۵٪ پایین)، و "گره ۲۹" زمانی که در ۹۵٪ بالا است و کنتاکت‌های کلید SW_U به ۰ + ولت می‌رود. در تماس مکانیکی هستند ("بسته"). مهندس باید معانی این ولتاژها و همه ترکیبات ممکن (هر ۴ تای آنها)، از جمله موارد "بد" را تعریف کند (به عنوان مثال هر دو گره ۲۲ و ۲۹ در ۰ ولت، به این معنی که درب به‌طور همزمان باز و بسته‌است).
پیوندهای ابلاغ، فلسفه و ریاضیات[ویرایش]
فرمول‌های گزاره‌ای دلخواه از متغیرهای گزاره‌ای و سایر فرمول‌های گزاره‌ای با استفاده از پیوندهای گزاره‌ای ساخته می‌شوند. نمونه‌هایی از اتصالات عبارتند از:
رابط نفی واحد. اگر🝛 پس یک فرمول است¬🝛 یک فرمول است
---
اتصالات باینری کلاسیک ∧ بنابراین، برای مثال، اگر and فرمول هستند، همین‌طور است .
---
سایر اتصالات باینری مانند NAND, NOR و XOR
---
اتصال سه تایی اگر … سپس … ELSE ...
---
پیوند "تئوری-بسط" برابر است (به‌طور متناوب، IDENTITY، یا علامت "=" که از "ارتباط منطقی" متمایز می‌شود.
پیوندهای ابلاغ، فلسفه و ریاضیات[ویرایش]
در زیر پیوندهای مشترک ابلاغ، فلسفه و ریاضیات به همراه جداول درستی آنها آمده‌است. نمادهای استفاده شده از نویسنده ای به نویسنده دیگر و در زمینه‌های مختلف متفاوت خواهد بود. به‌طور کلی اختصارات "T" و "F" مخفف ارزیابی‌های TRUTH و FALSITY هستند که برای متغیرهای فرمول گزاره ای اعمال می‌شوند (مثلاً این ادعا: "آن گاو آبی است" دارای مقدار حقیقت "T" برای Truth است. F" برای Falsity).
اتصالات دارای کاربردهای مختلفی از کلمات هستند.
برای مثال. "a به معنای b" نیز گفته می‌شود "اگر a سپس b". برخی از این موارد در جدول نشان داده شده.
| b only if a | |||||||||||
| b IS SUFFICIENT FOR a | b PRECISELY WHEN a | ||||||||||
| a IS NECESSARY FOR b | b IF AND ONLY IF a; b IFF a | ||||||||||
| inclusive OR | IF b THEN a | b IS NECESSARY AND SUFFICIENT FOR a | |||||||||
| negation | negation | conjunction | disjunction | implication | biconditional | ||||||
| variables | NOT b | NOT a | b AND a | b OR a | b IMPLIES a | b IS logically equivalent TO a *** | f IS A tautology | NEITHER a NOR b | b stroke a | exclusive OR | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| b | a | ¬(b) | ¬(a) | (b ∧ a) | (b ∨ a) | (b → a) | (b ↔ a) | (f = formula) | (a NOR b) | (b|a) | various |
| F | F | T | T | F | F | T | T | T | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | T | F | T | F | F | T | F | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T | T | F | F | F |
اتصالات مهندسی[ویرایش]
به‌طور کلی، اتصالات مهندسی دقیقاً مانند اتصالات ریاضی هستند به جز اینکه آنها تمایل دارند با "۱" = "T" و "۰" = "F" ارزیابی شوند. این کار به منظور تجزیه و تحلیل/به حداقل رساندن و سنتز فرمول‌ها با استفاده از مفهوم مینترم‌ها و نقشه‌های کارنو انجام می‌شود. مهندسان همچنین از واژه‌های محصول منطقی از مفهوم بول (a*a = a) و مجموع منطقی از مفهوم Jevons (a+a = a) استفاده می‌کنند.
| logical product | logical sum | half-adder (no carry) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| exclusive OR | |||||||||
| row number | variables | NOT | NOT | AND | OR | NAND | NOR | XOR | |
| b*21+a*20 | b | a | ~(b) | ~(a) | (b & a) | (b ∨ a) | ~(b & a) | ~(b ∨ a) | ⊕ |
| ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ |
| ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ |
| ۲ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ |
| ۳ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ |
اتصال: if ,then , ELSE[ویرایش]
رابط IF ,THEN , ELSE به عنوان ساده‌ترین شکل عملگر CASE نظریه بازگشت و تئوری محاسبات ظاهر می‌شود و رابط مسئول گفتوهای شرطی (پرش‌ها، شاخه‌ها) است. از این یک اتصال، همه اتصالات دیگر را می‌توان ساخت. اگرچه "IF c THEN b ELSE a" به نظر یک مفهوم است، اما در کمترین شکل خود، سوئیچی است که تصمیم می‌گیرد و تنها یکی از دو گزینه "a" یا "b" را به عنوان نتیجه ارائه می‌دهد
سه گزاره زیر معادل هستند
- (IF 'counter is zero' THEN 'go to instruction b ' ELSE 'go to instruction a ') ≡
- ((c → b) & (~c → a)) ≡ ((IF 'counter is zero' THEN 'go to instruction b ') AND (IF 'It is NOT the case that counter is zero' THEN 'go to instruction a) " ≡
- ((c & b) ∨ (~c & a)) ≡ " ('Counter is zero' AND 'go to instruction b) OR ('It is NOT the case that 'counter is zero' AND 'go to instruction a) "
بنابراین IF … سپس … ELSE - برخلاف استلزام - هنگامی که گزاره اول نادرست است، یعنی c = F در (c → b) به یک «حقیقت» مبهم ارزیابی نمی‌شود. به عنوان مثال، اکثر مردم گزاره مرکب زیر را به عنوان یک غیر متوالی بی‌معنی رد می‌کنند زیرا جمله دوم از نظر معنی به جمله اول متصل نیست.
مثال: گزاره "اگر "وینستون چرچیل چینی بود" پس "خورشید از شرق طلوع می‌کند" به عنوان یک حقیقت ارزیابی می‌شود با توجه به اینکه "وینستون چرچیل چینی بود" یک دروغ است و "خورشید از شرق طلوع می‌کند" به عنوان یک حقیقت ارزیابی می‌شود.
برای تشخیص این مشکل، علامت → استلزام صوری در حساب گزاره ای استلزام مادی نامیده می‌شود تا آن را از دلالت روزمره و شهودی متمایز کند.
استفاده از ساختار IF … THEN … ELSE از بحث و جدل جلوگیری می‌کند زیرا یک انتخاب کاملاً قطعی بین دو گزینه بیان شده ارائه می‌دهد. دو "ابژه" (دو گزینه b و a) را ارائه می‌دهد و بین آنها را به‌طور کامل و بدون ابهام انتخاب می‌کند. در جدول حقیقت زیر، d1 فرمول است: ((اگر c سپس b) و (اگر نه-c سپس a)). شکل کاملاً کاهش یافته آن d2 فرمول است: ((c AND b) OR (NOT-c AND a) این دو فرمول معادل هستند همان‌طور که توسط ستون‌های "=d1" و "=d2" نشان داده شده‌است. مهندسان برق به‌طور کامل کاهش یافته می‌گویند. عملگر AND-OR-SELECT را فرمول کنید. عملگر CASE (یا SWITCH) بسط همان ایده به n نتیجه ممکن، اما متقابل منحصر به فرد است. مهندسان برق، اپراتور CASE را مالتی پلکسر می‌نامند.
| d1 | d2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| row | c | b | a | ( | ( | c | → | b | ) | & | ( | ~ | ( | c | ) | → | a | ) | ) | =d1 | ( | ( | c | & | b | ) | ∨ | ( | ~ | ( | c | ) | & | ) | ) | =d2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ||||||||||||||||||
| ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ||||||||||||||||||
| ۲ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ||||||||||||||||||
| ۳ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ||||||||||||||||||
| ۴ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ||||||||||||||||||
| ۵ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ۰ | ۰ | ۱ | ۰ | ۰ | ||||||||||||||||||
| ۶ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ | ||||||||||||||||||
| ۷ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۱ | ۰ | ۱ | ۰ | ۱ |
This article "فرمول گزاره‌ای" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:فرمول گزاره‌ای. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.
