توزیع حاشیه ای

{{جا:ثبت}}

در نظریه آمار و احتمال، توزیع حاشیه ای از یک زیرمجموعه از یک مجموعه ای از متغیرهای تصادفی، توزیع احتمال از متغیرهای موجود در زیر مجموعه هست. احتمال مقادیر مختلف متغیرها را در زیرمجموعه بدون مراجعه به مقادیر سایر متغیرها ارائه می دهد. در حالی که توزیع شرطی، احتمالات را مشروط به مقادیر متغیرهای دیگر می کند.

متغیرهای حاشیه ای آن متغیرها در زیرمجموعه متغیرهایی هستند که حفظ می شوند. این مفاهیم "حاشیه ای" هستند زیرا با جمع کردن مقادیر در جدول در امتداد سطرها یا ستون ها و نوشتن حاصل جمع در حاشیه جدول ، می توان آنها را یافت. توزیع متغیرهای حاشیه ای (توزیع حاشیه ای) توسط حاشیه سازی حاصل می شود، یعنی تمرکز روی مبالغ موجود در حاشیه بیش از توزیع متغیرهای کنار گذاشته شده است، و گفته می شود که متغیرهای دور انداخته شده، به حاشیه رانده شده اند.

به طور ساده تر گاهی نیاز داریم توزیع مستقل دو متغیر تصادفی را هم از توزیع توام به دست آوریم. جواب این سوال ما در توزیع حاشیه‌ای نهفته است.

تعریف

برای حساب کردن توزیع حاشیه‌ای یکی از این متغیر‌ها کافی است به نوعی تاثیر آنرا بر روی تابع توزیع توام حذف کنیم.

تابع جرم احتمال حاشیه ای

فرض کنید توزیع توام دو متغیر تصادفی گسسته X و Y به ما داده شده است. توزیع حاشیه ای هر یک از این متغیر ها - به عنوان مثال X - برابر است با توزیع احتمال X هنگامی که مقادیر Y در نظر گرفته نمی شوند. این را می توان با جمع کردن احتمال توزیع توام روی تمام حالات Y محاسبه کرد. به طور مشابه، برای عکس آن نیز درست است. یعنی توزیع حاشیه ای Y را نیز می توان با جمع کردن احتمال توزیع توام روی حالات X محاسبه کرد.

$$p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j})$$

$$p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})$$

مقادیر توزیع توام این دو متغیر تصادفی، در مستطیل 3*4 وسط، و مقادیر توزیع حاشیه ای این دو متغیر، در حاشیه راست و پایین آورده شده است.

X Y	x1	x2	x3	x4	pY(y) ↓
y1	4/32	2/32	1/32	1/32	8/32
y2	3/32	6/32	3/32	3/32	15/32
y3	9/32	0	0	0	9/32
pX(x) →	16/32	8/32	4/32	4/32	32/32

احتمال حاشیه ای می تواند به صورت امید ریاضی نیز نوشته شود.

$$p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid y)]\;$$

به طور شهودی احتمال حاشیه ای X با بررسی احتمال شرطی X به شرط مقدار خاصی از Y، و سپس میانگین این احتمال شرطی بر روی توزیع همه مقادیر Y محاسبه می شود.

این از تعریف امید ریاضی ( بعد از انجام قانون LOTUS) می آید.

$$\operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y$$

تابع چگالی احتمال حاشیه ای

فرض کنید توزیع توام دو متغیر تصادفی پیوسته X و Y به ما داده شده است. تابع چگالی احتمال حاشیه ای X را می توان از انتگرال احتمال توزیع توام روی تمام حالات Y محاسبه کرد.

$$f_{X}(x)=\int _{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dy$$

$$f_{X}(y)=\int _{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dx$$

و یا به طور شهودی تر داریم:

$$f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy$$

$$f_{X}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx$$

$$x\in [a,b],y\in [c,d]$$

تابع توزیع تجمعی حاشیه ای

به راحتی می توان تابع توزیع تجمعی حاشیه ای را از روی تابع چگالی احتمال حاشیه ای به دست آورد.

تابع توزیع تجمعی حاشیه ای متغیر تصادفی گسسته

برای متغیر های تصادفی گسسته داریم:

$$F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$$

تابع توزیع تجمعی حاشیه ای متغیر تصادفی پیوسته

برای متغیر های تصادفی پیوسته داریم:

$$F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'$$

حال فرض کنید می‌خواهیم توزیع تجمعی حاشیه‌ای یک متغیر تصادفی را از روی توزیع تجمعی توام بدون استفاده از تابع چگالی آنها بدست آوریم.

$$F_{X}(x)=F_{X},_{Y}(x,\infty )=\lim _{x\to \infty }F_{XY}(x,y)$$

توزیع احتمال حاشیه‌ای و توزیع احتمال شرطی

تعریف

احتمال حاشیه‌ای، احتمال رخ دادن یک رخداد مستقل از رخداد‌های دیگر است. از سمت دیگر احتمال شرطی، احتمال رخ دادن یک رخداد به شرطی که رخداد‌های مشخص دیگری اتفاق افتاده باشند است. این بدین معنا است که در چنین احتمالی محاسبات مربوط به یک متغیر تصادفی به محاسبات متغیر‌های تصادفی دیگر وابسته میباشد.

توزیع احتمال شرطی یک متغیر تصادفی به شرط رخ دادن متغیر‌ تصادفی دیگر معادل توزیع احتمال توأم هر دو متغیر تصادفی تقسیم بر توزیع احتمال حاشیه‌ای متغیر تصادفی دیگری است که بالاتر معرفی شد میباشد. پس داریم،

• برای متغیر‌های تصادفی گسسته،

$$p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}$$

• برای متغیر‌های تصادفی پیوسته،

$$f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}$$

مثال

فرض کنید داده‌های مربوط به دانشجویان یک کلاس ۲۰۰ نفری را داریم. این داده‌ها شامل میزان زمان مطالعه دانشجویان (X) و درصد جواب‌های درست دانشجویان در امتحان (Y) هستند. فرض کنید که X و Y متغیر‌های تصادفی گسسته هستند؛ توزیع احتمال توأم X و Y را میتوان با استفاده از لیست کردن تمام مقادیر ممکن p(x_i,y_j) همانند جدول پایین، تعریف کرد.

جدولی از داده‌های رابطهٔ بین میزان زمان مطالعه و تعداد پاسخ‌های درست در یک کلاس با ۲۰۰ دانشجو

X Y	میزان زمان مطالعه (دقیقه)
% جواب‌های درست		x1 (0-20)	x2 (21-40)	x3 (41-60)	x4(>60)	pY(y) ↓
	y1 (0-20)	2/200	0	0	8/200	10/200
	y2 (21-40)	10/200	2/200	8/200	0	20/200
	y3 (41-59)	2/200	4/200	32/200	32/200	70/200
	y4 (60-79)	0	20/200	30/200	10/200	60/200
	y5 (80-100)	0	4/200	16/200	20/200	40/200
	pX(x) →	14/200	30/200	86/200	70/200	1

توزیع احتمال حاشیه‌ای میتواند تعداد دانشجو‌هایی که نمره ۲۰ یا کمتر گرفته اند را مشخص کند:

$p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}$، یعنی ۱۰ دانشجو یا ۵ درصد دانشجویان.

توزیع احتمال شرطی برای مشخص کردن احتمال اینکه یک دانشجو که ۶۰ دقیقه یا بیشتر مطالعه کرده باشد، نمرهٔ ۲۰ یا پایین‌تر کسب کند به کار می‌رود:

$p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}$، این عبارت به این معنی است که ۱۱ درصد احتمال این وجود دارد که نمره دانشجو پس از حداقل ۶۰ دقیقه مطالعه، ۲۰ شود.

نمونه ای از دنیای واقعی

فرض کنید احتمال برخورد یک عابر پیاده با ماشین در حین عبور از جاده در گذرگاه عابر پیاده بدون توجه به چراغ راهنمایی محاسبه شود. فرض کنید H یک متغیر تصادفی گسسته باشد که یک مقدار از {Hit, Not Hit} را می گیرد. فرض کنید L (برای چراغ راهنمایی) یک متغیر تصادفی گسسته باشد که یک مقدار از {RED، YELLOW، GREEN} را می گیرد.

در واقع، H به L وابسته خواهد بود. یعنی P(H = Hit) بسته به قرمز، زرد یا سبز بودن L مقادیر متفاوتی خواهد گرفت (و به همین ترتیب برای P(H = Not Hit)). برای مثال، یک عابر زمانی که چراغ‌های راهنمایی سبز هستند، احتمال بیشتری وجود دارد که هنگام عبور با خودرو برخورد کند تا زمانی که قرمز باشد. به عبارت دیگر، برای هر جفت مقادیر ممکن معینی برای H و L، باید احتمال توزیع توام H و L را در نظر گرفت تا در صورت نادیده گرفتن حالت چراغ راهنمایی توسط عابر، احتمال وقوع آن جفت رویدادها با هم پیدا شود.

هرچند، در تلاش برای محاسبه احتمال حاشیه ای P(H = Hit)، آنچه مورد نظر است، احتمال برخورد H = Hit در شرایطی است که مقدار خاص L ناشناخته است و در آن عابر پیاده وضعیت چراغ راهنمایی را نادیده می گیرد. به طور کلی، اگر چراغ ها قرمز باشد یا اگر چراغ ها زرد و یا اگر چراغ ها سبز باشند، می توان به عابر پیاده ضربه زد. بنابراین، پاسخ احتمال حاشیه‌ای را می‌توان با جمع P(H | L) برای همه مقادیر ممکن L، با وزن هر مقدار L با احتمال وقوع آن یافت.

در اینجا جدولی وجود دارد که بسته به وضعیت چراغ ها، احتمالات مشروط ضربه خوردن را نشان می دهد. (توجه داشته باشید که ستون های این جدول باید تا 1 جمع شوند زیرا بدون توجه به وضعیت نور، احتمال اصابت یا عدم اصابت 1 است.)

Conditional distribution: $P(H\mid L)$

L H	Red	Yellow	Green
Not Hit	0.99	0.9	0.2
Hit	0.01	0.1	0.8

برای یافتن توزیع احتمال توام، داده های بیشتری مورد نیاز است. برای مثال، فرض کنید P(L = red) = 0.2 و P(L = yellow) = 0.1 و P(L = green) = 0.7. ضرب هر ستون در توزیع شرطی در احتمال وقوع آن ستون منجر به توزیع احتمال توام H و L می شود که در مستطیل 2×3 وسط داده شده است.

Joint distribution: $P(H,L)$

L H	Red	Yellow	Green	Marginal probability P(H)
Not Hit	0.198	0.09	0.14	0.428
Hit	0.002	0.01	0.56	0.572
Total	0.2	0.1	0.7	1

احتمال حاشیه ای P(H = Hit) مجموع 0.572 در امتداد ردیف H = Hit این جدول توزیع مشترک است، زیرا این احتمال برخورد زمانی است که چراغ ها قرمز یا زرد یا سبز هستند. به طور مشابه، احتمال حاشیه ای که P(H = Not Hit) مجموع در امتداد ردیف H = Not Hit است.

توزیع احتمال‌های چند متغیره

تعدادی نمونه از یک توزیع احتمال نرمال دو متغیره. توزیع احتمال‌های حاشیه‌ای قرمز و آبی به نمایش درآمده‌اند. توزیع احتمال حاشیه‌ای X بوسیله یک هیستوگرام از مختصات X بدون در نظر گرفتن مختصات Y به نمایش درآمده است.

برای توزیع‌ احتمال‌های چند متغیره، همان فرمولی را به کار می‌گیریم که بالاتر از آن استفاده کردیم با این تفاوت که در این جا نماد‌های X و/یا Y به عنوان بردار شناخته می‌شوند. بطور خاص میتوان گفت که هر جمع یا انتگرال بر روی تمام متغیر‌ها، بجز متغیر‌هایی که در X قرار دارند، اعمال می‌شود. یعنی، اگر X₁,X₂,…,X_n متغیر‌های تصادفی گسسته باشند، آنگاه تابع جرم احتمال حاشیه‌ای باید به شکل زیر تعریف شود:

$$p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});$$

اگر X₁,X₂,…,X_n متغیر‌های تصادفی پیوسته باشند، آنگاه تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای باید به شکل زیر تعریف شود:

$$f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.$$

جستارهای وابسته

• توزیع احتمال
• توزیع احتمال توأم

منابع

• https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Marginal_distribution
• https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%DB%8C%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84_%D8%B4%D8%B1%D8%B7%DB%8C
• https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%DB%8C%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A3%D9%85
• Sheldon Ross ,Introduction to Probability, joint distribution pages 279 to 350
• https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/analyzing-categorical-ap/distributions-two-way-tables/v/marginal-distribution-and-conditional-distribution
• Trumpler, Robert J.; Harold F. Weaver (1962). Statistical Astronomy. Dover Publications. pp. 32–33
• Marginal & Conditional Probability Distributions: Definition & Examples". Study.com. Retrieved 2019-11-16
• Marginal and conditional distributions, retrieved 2019-11-16
• Exam P [FSU Math]". www.math.fsu.edu. Retrieved 2019-11-16

This article "توزیع حاشیه ای" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:توزیع حاشیه ای. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

📰 Article(s) of the same category(ies)

• پیشامد (احتمال)

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• توزیع حاشیه ای in English