پیشامد (احتمال)

پیشامد (احتمال)

در نظریه احتمال، به یک نتیجه ممکن یک آزمایش پیشامد میگویند. پیشامدهای یک آزمایش یکتا هستند و پیشامدهای متمایز دو به دو بدون اشتراک هستند (به این معنا که تنها یک پیشامد در هر بار اجرای آزمایش روی میدهد). مجموعه تمامی پیشامدهای یک آزمایش، فضای نمونه آزمایش را تشکیل میدهند.

به طور مثال در آزمایش دوبار پرتاب یک سکه، چهار حالت به عنوان نتیجه آزمایش و در نتیجه پیشامد آزمایش میتوان متصور بود: (شیر، شیر)، (شیر، خط)، (خط، شیر)، (خط، خط). در اینجا لازم است که به تفاوت پیشامد و رویداد اشاره کنیم. در واقع، به اجتماع تعدادی (یا به طور دقیقتر به مجموعه‌ای) از پیشامدها رویداد میگوییم. به عنوان مثال در مثال بررسی شده، میتوان رویداد "سکه اول، شیر بیاید" را برابر مجموعه $\}$ (شیر، شیر)، (شیر، خط) $\{$ تعریف کرد.

مجموعه پیشامدها (رویداد)

از‌ آنجایی که پیشامدهای تکی از اهمیت بالایی در عمل برخوردار نیستند، یا نتوان به طور خاص و مستقل آنها را بررسی کرد (به طور مثال در حالتی که پیشامدها نامتناهی باشند نمیتوان به آنها احتمال نسبت داد)، آنها را در مجموعه‌های تحت عنوان رویداد بررسی میکنند. به مجموعه تمامی رویدادها فضای رویداد گفته میشود.

باید توجه داشت که لزوما هر مجموعه از پیشامدها در فضای رویداد نمیباشد و به عنوان رویداد تعریف نمیشود. به عنوان مثال در حالتی که فضای نمونه متناهی است، عموما هر زیر مجموعه از فضای نمونه در فضای رویداد قرار میگیرد. اما در حالتی که فضای نمونه نامتناهی باشد، لزوما این اتفاق نمیفتد.

تعاریف

تحت نظریه اندازه ، مفهوم احتمال و فضای احتمال را میتوان با استفاده از سه‌تایی مرتب $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {P}})$ تعریف و مدل کرد. به طور خاص هر آزمایش یا پروسه‌ای که در آن عنصری تصادفی وجود دارد را میتوان از این طریق به صورت فرمال تعریف کرد. این سه‌تایی شامل:

• $\Omega$  : فضای نمونه. این مجموعه، مجموعه تمامی پیشامدهای ممکن است.
• ${\mathcal {F}}$  : فضای رویداد. این مجموعه، شامل تمامی رویدادهای آزمایش است. هر رویداد مجموعه‌ای از پیشامدهای آزمایش میباشد.
• ${\mathcal {P}}$  : تابع احتمال. این تابع تحت یک شرایطی، به هر رویداد یک احتمال نسبت میدهد. در واقع تعاریف بالا راهی برای تعریف فرمال یک پیشامد (اعضای $\Omega$ ) میباشند.

احتمال یک پیشامد

به طور شهودی، هر پیشامد احتمالی بین ۰ تا ۱ (شامل هر دو) دارد. تحقیق این امر در حالت گسسته ساده است، به طور مثال احتمال شیر آمدن یک سکه (با فرض منصفانه بودن آن) برابر ۰.۵ میباشد. اما در حالت پیوسته، از آنجایی که تعداد پیشامدها نامتناهی است، نمیتوان به راحتی این مفهوم را تعمیم داد. به عنوان مثال، احتمال اینکه قد یک فرد "دقیقا" ۱۷۲ سانتی متر باشد، صفر است چرا که قد یک فرد بینهایت مقدار میتواند به خود بگیرد و احتمال اینکه قد آن دقیقا این عدد باشد عملا صفر است.

در تعریف فرمال احتمال، تمامی احتمالات به رویدادها نسبت داده میشوند و احتمال پیشامدی خاص بی معنی است. در این حالت، احتمال یک پیشامد را، در صورتی که رویداد تک عضوی شامل این پیشامد در فضای رویداد باشد، احتمال آن رویداد تعریف میشود. در ادامه، با چند مثال به تبیین دقیقتر این مفهوم میپردازیم.

چند مثال

مثال ۱

فرض کنید میخواهیم آزمایش دوبار پرتاب یک سکه منصفانه ( $p=0.5$ ) را بررسی کنیم. در این مثال داریم:

• $\Omega =\{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$
  با فرض اینکه $H$ = شیر و $T$ = خط
• ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$
  که منظور از $2^{\Omega }$ مجموعه توانی ${\Omega }$ ، یا به عبارت دیگر مجموعه تمامی زیرمجموعه‌های آن میباشد.
• ${\mathcal {P}}(f)={\frac {|f|}{4}}$
  که $f$ یک رویداد از فضای رویداد بوده و $|f|$ تعداد اعضای آن میباشد. دقت کنید که در صورتی که اطلاعی از منصفانه بودن سکه نداشتیم، $\Omega$ و ${\mathcal {F}}$ تغییری نمیکردند و تنها مقادیر ${\mathcal {P}}(f)$ با توجه به احتمال شیر آمدن آن سکه تغییر میکرد.

مثال ۲

فرض کنید آزمایش مورد نظر انتخاب یک عدد حقیقی از بازه $[a,b]$ باشد. در این مثال:

• $\Omega =\{x|x\in [a,b]\}=[a,b]$
  در واقع نتیجه این آزمایش یک عدد در بازه مذکور است که مجموعه این پیشامدها همان بازه $[a,b]$ میشود.
• ${\mathcal {F}}=\{\bigcup _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]|x_{i}<y_{i},x_{i},y_{i}\in [a,b]\}$
  در واقع رویدادها را برابر اجتماع تعداد شمارایی از زیر بازه‌‌های $[a,b]$ تعریف میکنیم. که البته به جای $n$ می‌توان $\infty$ نیز باشد که معنای اجتماع شمارا تا بازه است. دقت کنید که این یک نحوه تعریف این مجموعه است و تعاریف مختلف آن به مدل‌های مختلف، و در بعضی موارد به جواب‌های مختلف برای سوالاتی یکسان منجر میشود. انتخاب فضای رویداد به طور کامل به تعریف مسئله برمیگردد و تبیین درست آن بسیار مهم است. همچنین هر تعریف فضای رویداد باید در یکسری شرط صدق کند که این شرایط در اینجا بررسی شده (لینک اضافه شود)
• ${\mathcal {P}}(f)$
  در این مثال و تبیین ما، با فرض اینکه رخداد پیشامدی را بر پیشامدی دیگر ترجیح ندهیم (دقت کنید که این به معنای هم احتمال بودن پیشامدها نیست چرا که احتمال هر پیشامد به هر حال صفر است) برابر جمع طول‌های زیربازه‌های مجزای یک رویداد، تقسیم بر $b-a$ میباشد. این نتیجه از خواص تابع احتمال که در اینجا بررسی شده نتیجه میشود (لینک اضافه شود). لازم به ذکر است که مقادیر تابع احتمال بدون فرض‌های اضافه (به عنوان مثال شرط ترجیح ندادن پیشامدی بر پیشامدی دیگر)، به شرطی که در شرط‌های مربوطه صدق کنند، دلخواه بوده و به مسئله برمیگردد.

تبیین دقیقتری از این مسئله را میتوان با استفاده از توابع چگالی احتمال توجیه کرد.

مثال ۳

میتوان ۲ مثال قبل را ترکیب کرد و آزمایش را حاصل ترکیب دو آزمایش دوبار پرتاب یک سکه و انتخاب یک عدد از بازه $[a,b]$ تعریف کرد. در این صورت، اگر سه تایی مربوط به مدل آزمایش اول را $(\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {P}}_{1})$ و سه تایی مربوط به مدل آزمایش دوم را $(\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},{\mathcal {P}}_{2})$ در نظر بگیریم و همچنین فرض استقلال را بین این دو آزمایش وارد کنیم،‌ یعنی نتیجه آزمایش اول بر نتیجه آزمایش دوم بی تاثیر باشد، آنگاه خواهیم داشت:

• $\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}$
• ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$
• ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}_{1}\times {\mathcal {P}}_{2}$

که در اینجا منظور از $X$ بین دو مجموعه ضرب دکارتی آن دو مجموعه است. دقت کنید که نیاز نیست سه‌تایی‌های این دو آزمایش حتما آنهایی باشند که ما در مثال‌های قبل دیدیم و هر سه‌تایی معتبر (منظور از معتبر، صدق کردن شروط مربوطه است) برای این دو آزمایش به اضافه فرض استقلال سه‌تایی نهایی بالا را نتیجه میدهد. در اینصورت، تنها با داشتن فرض استقلال میتوانیم آزمایش‌های مختلف را با هم ترکیب کنیم و آزمایش‌های پیچیده تری بسازیم. همچنین میتوان یک آزمایش پیچیده را به آزمایش‌های ساده تر شکسته و هرکدام را جداگانه بررسی کنیم و تمامی خواص احتمالاتی آنها (از جمله فضای نمونه که مبحث مورد بحث این نوشته است) را با استفاده از روش بالا ترکیب و تجزیه کرد. به طور مثال میتوان آزمایش ۲۰ بار پرتاب یک سکه را به ۲۰ آزمایش پرتاب یک سکه تجزیه کرده و هرکدام را جداگانه بررسی کنیم.

منابع

• "outcome probability". 2021-09-15. نگهداری یادکرد:تاریخ و سال (link)

• "probability spaces". 2022-01-09. نگهداری یادکرد:تاریخ و سال (link)

• "measure mathematics". 2022-02-05. نگهداری یادکرد:تاریخ و سال (link)

• "event (probability theory)". 2022-02-05. نگهداری یادکرد:تاریخ و سال (link)

This article "پیشامد (احتمال)" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:پیشامد (احتمال). Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

📰 Article(s) of the same category(ies)

• کاشی‌سازی برخالی
• حامید احمدی
• توزیع حاشیه ای

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• پیشامد (احتمال) in English