نظریه دسته ها

نمایش شماتیک از یک دسته با اشیاء Xبا Yهای Z و مورفیزم های f, g, g ∘ f. (اگر صریح تر نمایش دهیم، سه مورفیزم همانی  1_{Z ،1Y ،1X} از دسته مورد نظر نیز در کنار حروف X و Y و Z به ترتیب نمایش داده می شوند که هر کدام به عنوان «محور» اش یک قوس دایره ای به اندازه تقریبا 360 درجه را خواهد داشت)

نظریه دسته ها (رده ها یا کاتگوری ها)  ساختار های ریاضی و مفاهیم آن را در غالب دسته هایی از اشیاء و فِلِش ها (همچنینمورفیزم گفته میشود) صوری سازی می کند. یک دسته  دارای دو خاصیت پایه ای است: توانایی ترکیب فلش ها به صورت شرکت پذیر و وجود یک عنصر همانی برای هر شیء. زبان نظریه دسته ها جهت فُرمال سازی مفاهیم دارای سطحوح انتزاع مرتبه بالا، نظیر مجموعه ها، حلقه ها و گروه ها مورد استفاده قرار می گیرد.

تعدادی از عبارت های مورد استفاده در نظریه رده ها، از جمله «مورفیزم» متفاوت از آنچه در باقی ریاضیات است استفاده می شوند. در نظریه دسته ها، فلش ها از شرایط مختص خود نظریه دسته ها پیروی می کنند.

ساموئل آیلنبرگ و ساندرز مک لین  مفاهیم کاتگوری،  عملگر(فانکتور) و تبدیلات طبیعی را در 1942-1945 طی مطالعات خود در توپولوژی جبری با هدف درک فرآیندهایی که ساختار ریاضی را حفظ می کنند، و تحت تاثیر ایده های مرتبط قبلی ریاضیدانان لهستانی و آلمانی معرفی نمودند. تئوری دسته ها، دارای کاربردهایی عملی در نظریه زبان های برنامه نویسی، و به طور خاص جهت مطالعه موناد ها در برنامه نویسی تابعی است.

مفاهیم اساسی

کاتگوری ها، انتزاعی از دیگر مفاهیم ریاضی را نشان می دهند. دیگر مفاهیم ریاضی. بسیاری از زمینه های ریاضیات می تواند توسط نظریه دسته ها، به عنوان دسته فُرمال (صوری) شوند. از این رو دسته تئوری با استفاده از انتزاع این را ممکن می سازد که بسیاری از نتایج پیچیده و ظریف ریاضی در این زمینه ها را به نحوی بسیار ساده تر بیان و اثبات کرد.

یک مثال ابتدایی از یک کاتگوری، کاتگوری مجموعه هاست، که اشیاء آن مجموعه ها، و مورفیزم های آن توابع از یک مجموعه به مجموعه ای دیگر اند. اگرچه در حالت کلی، اشیاء یک کاتگوری، ضرورتی ندارد مجموعه باشند و مورفیزم ها نیز ضرورتی ندارد که تابع باشند. هر روشی از صوری سازی یک مفهوم ریاضی که شرایط ابتدایی حاکم بر اشیاء و مورفیزم ها را برآورده کند، یک کاتگوری مشروع است و تمامی نتایج نظریه دسته ها برای آن برقرار خواهد بود.

«مورفیزم» های نظریه دسته ها یا غالباً فرایندی را نشان می دهند که دو شیء را به هم متصل می کند، و یا در بسیاری از موارد، یک تبدیل «حافظ ساختار» را نشان می دهند که دو شیء را به هم وصل می کند. اگرچه، موارد بسیاری هست که مفاهیم بسیار انتزاعی تری را با مورفیزم ها و اشیاء نشان می دهند. مهم ترین خاصیت مورفیزم ها این است که می توانند «ترکیب» شوند، یا به عبارتی، در یک دنباله ای چیده شوند  که مورفیزم جدیدی را بوجود بیاورند.

کاربردهای دسته ها

کاتگوری ها، اکنون در بسیاری از شاخه های ریاضیات، برخی از شاخه های علوم کامپیوتر نظری که در آنجا با نوع ها مطابق می شوند، و ریاضی فیزیک که در آن آنها می تواند برای توصیف فضاهای برداری مورد استفاده قرار گیرد، ظاهر می شوند.

ابزار

دسته ها, اشیاء و مورفیزم ها

مطالعه گاتگوری ها، تلاشی برای این است که آنچه در انواع مختلف ساختار های ریاضی قابل دریافت است را توسط ارتباط دادن آنها با توابع ساختار-نگهدار بین آنها و به صورت اصل موضوعه ای نشان دهد. بنابر این، مطالعه نظام مند نظریه دسته ها، به ما این اجازه را می دهد که نتایجی کلی راجع به هریک از این ساختار های ریاضیاتی را با استفاده از اصول موضوعه نظریه دسته ها به اثبات برسانیم.

مثال زیر را در نظر بگیرید. کلاس Grp از گروه ها، متشکل از تمام اشیاء دارای یک «ساختار گروهی» است. می توان با استنتاج از مجموعه ای از اصول موضوعه، قضایایی راجع به گروه ها را ثابت کرد. برای مثال، می توان با استفاده از اصول موضوعه، بلافاصله ثابت کرد که گروه همانی، منحصر بفرد است.

به جای تمرکز صرف بر روی اشیاء منفرد (به عنوان مثال گروه های) دارای یک ساختار داده شده، نظریه دسته ها نظریه بر فِلِش (مورفیزم) ها - نگاشت های حافظ ساختار - بین این اشیاء تمرکز می کنند؛ با مطالعه این فلش ها، قادر خواهیم بود در مورد ساختار اشیاء بیشتر بدانیم. در مورد گروه ها، مورفیزم ها همان همریختی های گروهی هستند. یک همریختی گروهی بین دو گروه، به معنایی دقیق «ساختار گروه را حفظ می کند» - این یک «فرایند» است که طی آن یک گروه به گروهی دیگر برده می شود، به نحوی که اطلاعات مربوط به گروه نخست را با خود به دومی حمل می کند. بنابر این، مطالعه ی همریختی های گروهی، ابزاری را برای مطالعه ی ویژگی های عمومی گروه ها و استنتاجات مبتنی بر اصول موضوعه ی گروه ها فراهم می کند.

گونه ی مشابه ای از بررسی ها در بسیاری از نظریه های ریاضی از قبیل مطالعه نگاشت های پیوسته (فلش ها) ی بین فضاهای توپولوژیکی در توپولوژی (که کاتگوری متناظر را با Top نشان می دهند)، و مطالعه یتوابع هموار (فلش ها) در نظریه ی خمینه ها رخ می دهد.

با این حال، اینطور نیست که همه ی کاتگوری ها شامل «توابع (مجموعه ای) حافظ ساختار» باشند؛ یک نمونه ی استاندارد، کاتگوری هموتوپی های بینفضاهای توپولوژیک نقطه ای است.

اگر بجای توابع، رابطه ها را اصول موضوعه سازی کنیم، نظریه ی تمثیلات بدست می آید.

فانکتور ها

یک کاتگوری، خود یک نوع ساختار ریاضی است؛ بنابراین می توانیم به دنبال «فرایند»هایی بگردیم که به معنایی، این ساختار را حفظ می کنند. چنین فرایندی، یک فانکتور نامیده می شود. 

نمودار جویی (تعقیب نمودار) روشی تجسمی از استدلال درباره ی «فلش» های مجرد است که در نمودار های به هم متصل می شوند. فانکتور ها توسط پیکان های بین کاتگوری ها نمایش داده می شوند، در صورتی که شروطی خاص مربوط به جابجایی پذیری را رعایت کنند. فانکتور ها می توانند نمودار های دسته ای (یا کاتگوریکال) را  تعریف کنند (بسازند) (viz. Mitchell, 1965). یک فانکتور، به هر شی از دسته اول یک شی از دسته ی دیگر، و به هر پیکان در دسته اول یک پیکان در دومی متناظر می کند.

در واقع آنچه که ما انجام دادیم این است که یک دسته از دسته ها و فانکتورهای بینشان تعریف کرده ایم - که اشیاء، کاتگوری ها بوده و فلش ها (ی بین کاتگوری ها) همان فانکتور ها هستند.

با مطالعه دسته ها و فانکتور ها، ما نه تنها قادر به مطالعه ی کلاسی از ساختار های ریاضی و پیکان های بینشان هستیم، بلکه روابط بین کلاس های گوناگونی از ساختار های ریاضی را نیز مطالعه می کنیم. این ایده ای اساسیست که برای اولین بار در توپولوژی جبری ظاهر شد. سوالات دشوار توپولوژیکی را می توان به سوالاتی جبری مبدل کرد که اغلب، پاسخ دادنشان ساده تر است. سازه های مقدماتی مانند گروه بنیادی یا گروپیود بنیادی از یک فضای توپولوژیک را می توان بدین صورت، به عنوان فانکتور هایی به کاتگوری گروپوید ها تببین کرد؛ و این مفهومی جامع در جبر و کاربردهای آن است.

تبدیلات طبیعی

با مجرد سازی دوباره، برخی ساختارهای نموداری و/یا ساختار های دنباله ای اغلب «به طور طبیعی مرتبط اند» – یک مفهوم مبهم در نگاه اول. این مسئله، منجر به مفهوم روشنگر تحول طبیعی می گردد؛ راهی برای «تصویر کردن» یکی فانکتور به فانکتوری دیگر. بسیاری از ساختارهای مهم در ریاضیات را می توان در این بافت مورد مطالعه قرار. «طبیعی بودن» یک اصل، مانند هموردایی عام در فیزیک است که عمیق تر از آنچه در ابتدا به نظر می رسد به پیش می رود. یک فلش (مورفیزم) بین دو فانکتور، زمانی که بحث طبیعی بودن یا شرایط جا به جایی خاصی است، یک تحول طبیعی است.

فانکتور ها و تحولات طبیعی ('طبیعی بودن') مفاهیم کلیدی در نظریه رده ها هستند.

دسته ها, اشیاء و مورفیزم ها

کاتگوری ها

یک کاتگوری C شامل موجودات ریاضی زیر است:

همچنین نگاه کنید

• دامنه نظریه
• نظریه دسته های غنی
• واژه نامه از رده تئوری
  
• نظریه گروه
• نظریه دسته های مرتبه بالا
• جبر ابعاد بالا
• آثار مهم نظریه رده ها
• حساب لامبدا
• طرح کلی نظریه دسته ها
• جدول زمانی از نظریه دسته ها و ریاضیات مرتبط

مطالعه بیشتر

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Awodey, Steve (2010). Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012), Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (3rd ed.).
• More than one of |mr= and |MR= specified (help) .
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 50-52. Cambridge University Press.
• Bucur, Ion; Deleanu, Aristide (1968). Introduction to the theory of categories and functors. Wiley.
• Freyd, Peter J. (1964). Abelian Categories. New York: Harper and Row.
• Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2.
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94 (Reprint, revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1.
• Hatcher, William S. (1982). "Ch. 8". The logical foundations of mathematics. Foundations & philosophy of science & technology (2nd ed.). Pergamon Press.
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory (3rd ed.), Heldermann Verlag Berlin, ISBN 978-3-88538-001-6 More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help)

.

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Lawvere, F. W.; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Leinster, Tom (2004). Higher operads, higher categories. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53215-0.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge University Press.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). "Elements of basic category theory". Technical Report. Technical University Berlin. 96 (5).
• May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9.
• Guerino, Mazzola (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5731-2.
• Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6.
• Schalk, A.; Simmons, H.; Stecker, G. (2005). "An introduction to Category Theory in four easy movements" (PDF). Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• , draft of a book.
• کانال Practical Foundations of Mathematics در یوتیوب
• Category Theory at پلنت‌مث. Based on Mac Lane 1998.

• Jean-Pierre Marquis (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9384-5.From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9384-5.Jean-Pierre Marquis (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9384-5.

لینک های خارجی

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
• André Joyal, CatLab, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics.
• Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
• Hillman, Chris, A Categorical Primer, CiteSeerX: 10.1.1.24.3264, a formal introduction to category theory.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. "Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats" (PDF).
• Category Theory entry by Jean-Pierre Marquis in the دانشنامه فلسفه استنفورد with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John (1996). "The Tale of n-categories"."The Tale of n-categories".Baez, John (1996). "The Tale of n-categories". — An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• کانال The catsters در یوتیوب, a channel about category theory.
• Category Theory at پلنت‌مث.
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
• Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.

This article "نظریه دسته ها" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:نظریه دسته ها. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

📰 Article(s) of the same category(ies)

• مطصا
• سلول های بنیادی القایی
• هما دلورای
• هنر صخره ای در ایران
• پدید آوردن هیولا
• نقطه بحرانی کوانتومی
• میجر ماینس

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• نظریه دسته ها in English